Model Pengaturcaraan Linear

7.1

Model Pengaturcaraan Linear

Membentuk Model Matematik untuk Situasi Berdasarkan Kekangan Diberi dan Mewakili Model Secara Grafik

Huraian

Suatu model matematik boleh dibentuk dengan menggunakan pemboleh ubah \(x\) dan \(y\) dengan kekangan bagi suatu situasi ialah \(\leq\), \(\geq\), \(\lt\) atau \(\gt\).

Rantau di bahagian atas garis lurus \(ax+by=c\) memuaskan ketaksamaan \(ax+by\geq c\) dan \(ax+by\gt c\), dengan keadaan \(b\gt 0\).
Rantau di bahagian bawah garis lurus \(ax+by=c\) memuaskan ketaksamaan \(ax+by\leq c\) dan \(ax+by\lt c\), dengan keadaan \(b\gt 0\).
Rantau yang terletak di sebelah kanan garis \(ax=c\) memuaskan ketaksamaan \(ax\geq c\) dan \(ax\gt c\).
Rantau yang terletak di sebelah kiri garis \(ax=c\) memuaskan ketaksamaan \(ax\leq c\) dan \(ax\lt c\).

Rumusan

Jika suatu model matematik melibatkan tanda:

\(\geq\) atau \(\leq\), maka garis padu \((\overline{\hspace{1cm}})\) akan digunakan.
\(\lt\) atau \(\gt\), maka garis sempang \((\text{-} \text{ -} \text{ -} \text{ -}\text{ -})\) akan digunakan.

Fungsi Objektif

Fungsi objektif ditulis sebagai:

\(k=ax+by\)

Contoh \(1\)

Soalan

(a)	Tuliskan satu model matematik bagi situasi berikut:
	Perimeter sebuah bingkai gambar yang berbentuk segi empat tepat mestilah tidak lebih daripada \(180\) cm.

(b)	Wakilkan ketaksamaan linear \(x-2y \geqslant -4\) secara grafik.

Penyelesaian (a)

Katakan \(x\) dan \(y\) masing-masing ialah lebar dan panjang sebuah bingkai gambar berbentuk segi empat tepat.

Maka, \(2x+2y \text{ < }180\).

Penyelesaian (b)

Diberi \(x-2y \geqslant -4\).

Didapati bahawa \(b=-2 \ (\text{< }0)\).

Maka, rantau berada di bawah garis lurus \(x-2y=-4\).

1. Graf yang memaparkan garis dengan titik yang berbeza ditandakan padanya, menggambarkan nilai atau aliran data tertentu.

Contoh \(2\)

Soalan

Graf yang menggambarkan trend harga produk, mempamerkan model pengaturcaraan linear untuk analisis dan membuat keputusan.

Rajah di atas menunjukkan rantau berlorek yang memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi.

Diberi \(k = x+2y\), cari

(a)	nilai maksimum bagi \(k\),
(b)	nilai minimum bagi \(k\).

Penyelesaian

(a)	Gantikan titik maksimum bagi rantau berlorek, iaitu \((15,55)\) ke dalam \(k = x+2y\).
	\(\begin{aligned} k&=15+2(55)\\ &=125. \end{aligned}\)
	Maka, nilai maksimum bagi \(k\) ialah \(125\).

(b)	Gantikan titik minimum bagi rantau berlorek, iaitu \((15,8)\) ke dalam \(k = x+2y\).
	\(\begin{aligned} k&=15+2(8)\\ &=31. \end{aligned}\)
	Maka, nilai minimum bagi \(k\) ialah \(31\).