| |
- Kamiran tentu bagi suatu fungsi \(f(x)\) terhadap \(x\) antara nilai batasan \(x=a \text{ dengan } x=b\) boleh ditulis sebagai:
| |
|
|
| |
\(\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) \ dx &= [g(x)+c]_{a}^{b} \\ &=[g(b)+c]-[g(a)+c]\\ &=g(b)-g(a) \end{aligned}\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
| Sifat-sifat bagi Kamiran Tentu |
| |
|
|
| |
Bagi suatu fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\), |
|
| |
| |
|
| (a) |
\(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = 0\) |
| |
|
| (b) |
\(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = -\int_{a}^{b} f(x) \ dx\) |
| |
|
| (c) |
\(\int_{a}^{b} kf(x) \ dx = k\int_{a}^{b} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(k\) ialah pemalar |
| |
|
| (d) |
\(\int_{a}^{b} f(x) \ dx + \int_{b}^{c} f(x) \ dx = \int_{a}^{c} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(a |
| |
|
| (e) |
\(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \ dx = \int_{a}^{b} f(x) \ dx \pm \int_{a}^{b}g(x) \ dx\) |
| |
|
|
|
|
|
| |
- Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-\(x\) :
| |
|
|
| |
\(L = \int_{a}^{b} y \ dx\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
  |
| |
- Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-\(x\),
| |
|
|
|
| |
| 1. |
Jika rantau itu berada di bawah paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran negatif |
| |
|
| 2. |
Jika rantau itu berada di atas paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran positif |
| |
|
| 3. |
Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
  |
| |
- Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-\(y\) :
| |
|
|
| |
\(L = \int_{a}^{b} x \ dy\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
  |
| |
- Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-\(y\),
| |
|
|
| |
| 1. |
Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-\(y\), maka hasil kamiran negatif |
| |
|
| 2. |
Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-\(y\), maka hasil kamiran positif |
| |
|
| 3. |
Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif |
|
|
| |
|
|
|
|
| |
  |
| |
  |
| |
- Luas rantau antara suatu lengkung dengan garis lurus:
| |
|
|
| |
\(\begin{aligned} \text{Luas rantau berlorek }&= \int_{a}^{b} g(x) \ dx -\int_{a}^{b} f(x) \ dx \\\\ &=\int_{a}^{b} [g(x)-f(x)] \ dx \end{aligned}\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
- Bagi mencari luas rantau, pastikan fungsi lengkung atau garis yang berada di bahagian atas ditolakkan dengan fungsi lengkung atau garis yang di bawah
|
| |
  |
| |
| Contoh |
| |
|
|
| |
Lengkung \(y=x^2\) dan \(y= \sqrt[3] {x}\) bersilang pada titik \((0,0) \text{ dan } (1,1)\). |
|
| |
|
|
| |
Cari luas bagi rantai di antara dua lengkung itu. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
Penyelesaian:
|
|
| |
|
|
| |
\(\begin{aligned} \text{Luas rantau }&= \int_{0}^{1} \sqrt[3] x \ dx - \int_{0}^{1} x^2 \ dx\\\\ &= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{3}}-x^2) \ dx\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3(1)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{1^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1} - \begin{bmatrix} \dfrac{3(0)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\dfrac{5}{12} \text{ unit}^2 \end{aligned}\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
- Isi padu janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui \(360^\text{o}\) pada paksi-\(x\) atau paksi-\(y\)
- Nilai bagi isi padu janaan adalah sentiasa positif
|
| |
- Isi padu janaan apabila dikisarkan \(360^\text{o}\) pada paksi-\(x\) :
| |
|
|
| |
\(I = \int_{a}^{b} \pi y^2 \ dx\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
- Isi padu janaan apabila dikisarkan \(360^\text{o}\) pada paksi-\(y\) :
| |
|
|
| |
\(I = \int_{a}^{b} \pi x^2 \ dy\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
  |
| |
| Contoh |
| |
|
|
| |
Dalam rajah di atas, lengkung \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) bersilang dengan garis lurus \(y=x \text{ pada titik } O(0,0) \text{ dan }A(4,4)\). |
|
| |
|
|
| |
Cari isi padu janaan, dalam sebutan \(\pi\), apabila rantau berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-\(x\). |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
Penyelesaian: |
|
| |
|
|
| |
Katakan \(I_{1} \) ialah isi padu janaan bagi garis lurus \(y=x\) dan \(I_{2} \) ialah isi padu janaan bagi lengkung \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) daripada \(x=0 \text{ hingga }x=4\).
|
|
| |
|
|
| |
| \(\begin{aligned} I_1 &= \int_{0}^{4} \pi (x)^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} (x)^2 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{3}\pi \text{ unit}^3 \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} I_2 &= \int_{0}^{4} \pi \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}x^2 \end{pmatrix}^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} \dfrac{1}{16}x^4 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^5}{16(5)} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^5}{80} - \dfrac{0^5}{80} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{5}\pi \text{ unit}^3 \end{aligned}\) |
|
|
| |
|
|
| |
Maka, isi padu janaan ialah |
|
| |
|
|
| |
\(\begin{aligned} &= I_1 - I_2\\\\ &=\dfrac{64}{3} \pi -\dfrac{64}{5} \pi\\\\ &=8\dfrac{8}{15}\pi \text{ unit}^3 \end{aligned}\) |
|
| |
|
|
|
|
| |
