1. Belajar
  2. Nota Ringkas
  3. Senarai
  4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal
Kembali

Taburan Normal

5.3 Taburan Normal
 
Imej ini menerangkan konsep taburan normal. Ia dibahagikan kepada tiga bahagian: 1. Bahagian pertama mentakrifkan taburan normal sebagai fungsi kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan. 2. Bahagian kedua menerangkan taburan sebagai simetri, dengan kebanyakan data berkumpul di sekeliling pusat berhampiran dengan min. 3. Bahagian ketiga menyatakan bahawa kebarangkalian untuk data lebih jauh daripada min tirus adalah sama dalam kedua-dua arah. Tajuk 'TABURAN NORMAL' dipaparkan dengan jelas di bahagian atas, dengan logo 'Pandai' di bawahnya.
 
Graf Fungsi Taburan Normal
Rajah

Graf yang menggambarkan min, median dan mod, menggambarkan keluk taburan normal untuk analisis statistik.
Ciri-ciri Graf Fungsi Taburan Normal
  • Lengkung berbentuk loceng dan bersimetri pada garis tegak yang melalui min, \(\mu\).
  • Lengkung mempunyai nilai maksimum pada paksi simetri, \(X=\mu\).
  • Min, \(\mu\) membahagikan luas rantau di bawah graf kepada dua bahagian yang sama.
  • Kedua-dua hujung lengkung graf melanjut secara tidak terhingga tanpa menyentuh paksi-\(x\).
  • Jumlah luas di bawah graf yang bersamaan dengan jumlah kebarangkalian bagi semua kesudahan ialah \(1\) unit\(^2\).
 
Tatatanda Taburan Normal bagi Pemboleh Ubah \(X\)
\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
 
Luas di Bawah Graf bagi Nilai \(X\) dari \(a\) hingga \(b\)
Rajah

Graf yang menggambarkan lengkung taburan normal dengan garis yang menunjukkan kawasan di bawah lengkung dari x=a hingga x=b.
Kebarangkalian \(X\) Berlaku untuk Nilai \(X\) dari \(a\) hingga \(b\)

\(P(a \lt X \lt b)=P(a \leq X \leq b)\)
 
Variasi Rawak dan Hukum Bilangan Besar
Variasi Rawak

Semakin besar saiz suatu sampel, semakin kecil variasi rawak. Jadi, nilai anggaran suatu parameter menjadi lebih konsisten.
Hukum Bilangan Besar

Semakin besar saiz suatu sampel, nilai min percubaan semakin menghampiri nilai min teori bagi suatu populasi.
 
Taburan Normal Piawai
  • Taburan normal piawai ditakrifkan sebagai satu taburan normal dengan min dan sisihan piawai masing-masing ialah \(0\) dan \(1\).
  • Suatu pemboleh ubah rawak selanjar \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) dengan min \(\mu\) dan sisihan piawai \(\sigma\) boleh dipiawaikan kepada pemboleh ubah rawak selanjar \(Z\) dengan min \(0\) dan sisihan piawai \(1\) menggunakan rumus berikut:

\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\), dengan keadaan \(Z\sim N(0,1)\)
 
Peratusan Taburan Data yang Wujud dalam Setiap Lingkungan Sisihan Piawai
  • \(68\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 1\) daripada min.
  • \(95\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 2\) daripada min.
  • \(99.8\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 3\) daripada min.
 
Kebarangkalian Suatu Peristiwa bagi Taburan Normal

Untuk mencari kebarangkalian pemboleh ubah rawak selanjar \(X\) yang berlaku antara \(a\) dengan \(b\), kita boleh menulisnya sebagai 
\(P(a\lt X \lt b)\). Oleh itu, cara menukarkan kebarangkalian peristiwa itu kepada taburan normal piawai dengan pemboleh ubah rawak selanjar \(Z\) adalah seperti berikut:

\(\begin{aligned} P(a\lt X \lt b)&=P\left( \dfrac{a-\mu}{\sigma} \lt \dfrac{X-\mu}{\sigma} \lt \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) \\ &=P \left( \dfrac{a-\mu}{\sigma} \lt Z \lt \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) \end{aligned}\)
 
Contoh \(1\)
Soalan

Graf yang menggambarkan taburan normal dengan garis merah dan garis biru, menyerlahkan kawasan antara x=28 dan x=42.

Rajah di atas menunjukkan graf bagi fungsi taburan normal yang bersimetri pada \(X=35\).

(a) Nyatakan nilai min, \(\mu\).
(b) Ungkapkan rantau berlorek dalam tatanda kebarangkalian.
(c) Jika kebarangkalian rantau berlorek ialah \(0.64\), cari \(P(X \lt28)\).
Penyelesaian
(a) \(\mu=35\).
   
(b) \(P(28 \lt X \lt 42)\).
   
(c) Oleh sebab graf bersimetri pada \(X=35\) serta \(X=28\) dan \(X=42\) masing-masing ialah \(7\) unit di sebelah kiri dan kanan min. Maka,
  \(\begin{aligned} P(X\text{ < }28)&=P(X\text{ > }42)\\\\ &=\dfrac{1-0.64}{2}\\\\ &=0.18. \end{aligned}\)
 
Contoh \(2\)
Soalan
(a) Suatu pemboleh ubah rawak selanjar \(X\) bertaburan normal dengan min \(30\) dan sisihan piawai \(8\).
  Cari skor-\(z\) jika \(X=42\).
   
(b) Tinggi bangunan di Kampung Pekan bertaburan secara normal dengan min \(23\) m dan varians \(25\) m\(^2\), cari tinggi bangunan jika skor piawai ialah \(0.213\).
Penyelesaian
(a) Diberi \(X=42\), \(\mu=30\) dan \(\sigma=8\).
  \(\begin{aligned} Z &= \dfrac{X-\mu}{\sigma}\\\\ &=\dfrac{42-30}{8}\\\\ &=1.5. \end{aligned}\)
   
(b) Diberi \(\mu=23\), \(\sigma^2=25\) dan skor-\(z=0.213\).
  Jadi,
  \(\begin{aligned} \sigma&=\sqrt{25} \\ &=5. \end{aligned}\)
  Maka,
  \(\begin{aligned} Z &= \dfrac{X-\mu}{\sigma}\\\\ 0.213&=\dfrac{X-23}{5}\\\\ 1.065&=X-23\\\\ X&=24.065\text{ m}. \end{aligned}\)
 
Contoh \(3\)
Soalan

Taburan ukuran panjang sejenis skru yang dihasilkan oleh sebuah kilang boleh dianggap sebagai normal dengan min \(10.6\) cm dan sisihan piawai \(3.2\) cm.

Wakilkan kebarangkalian bahawa sebatang skru yang dipilih secara rawak dari kilang itu mempunyai panjang antara \(8.4\) cm dengan \(13.2\) cm dengan keadaan \(Z\) ialah pemboleh ubah rawak selanjar piawai.
Penyelesaian

Katakan \(X\) mewakili panjang skru yang dihasilkan oleh kilang itu.

Diberi \(\mu=10.6\) dan \(\sigma=3.2\).

\(\begin{aligned} &P(\text{Panjang skru antara }8.4\text{ cm dengan }13.2\text{ cm})\\\\ &= P(8.4 \text{ < } X \text{ < } 13.2)\\\\ &=P\begin{pmatrix}\dfrac{8.4-10.6}{3.2} \text{ < } \dfrac{X-\mu}{\sigma} \text{ < } \dfrac{13.2-10.6}{3.2}\end{pmatrix}\\\\ &=P(-0.6875 \text{ < } Z\text{ < } 0.8125). \end{aligned}\)
 
Pandangan yang dinyatakan dalam Nota ini adalah dari pemilik kandungan Eksperimen.

Taburan Normal

5.3 Taburan Normal
 
Imej ini menerangkan konsep taburan normal. Ia dibahagikan kepada tiga bahagian: 1. Bahagian pertama mentakrifkan taburan normal sebagai fungsi kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan. 2. Bahagian kedua menerangkan taburan sebagai simetri, dengan kebanyakan data berkumpul di sekeliling pusat berhampiran dengan min. 3. Bahagian ketiga menyatakan bahawa kebarangkalian untuk data lebih jauh daripada min tirus adalah sama dalam kedua-dua arah. Tajuk 'TABURAN NORMAL' dipaparkan dengan jelas di bahagian atas, dengan logo 'Pandai' di bawahnya.
 
Graf Fungsi Taburan Normal
Rajah

Graf yang menggambarkan min, median dan mod, menggambarkan keluk taburan normal untuk analisis statistik.
Ciri-ciri Graf Fungsi Taburan Normal
  • Lengkung berbentuk loceng dan bersimetri pada garis tegak yang melalui min, \(\mu\).
  • Lengkung mempunyai nilai maksimum pada paksi simetri, \(X=\mu\).
  • Min, \(\mu\) membahagikan luas rantau di bawah graf kepada dua bahagian yang sama.
  • Kedua-dua hujung lengkung graf melanjut secara tidak terhingga tanpa menyentuh paksi-\(x\).
  • Jumlah luas di bawah graf yang bersamaan dengan jumlah kebarangkalian bagi semua kesudahan ialah \(1\) unit\(^2\).
 
Tatatanda Taburan Normal bagi Pemboleh Ubah \(X\)
\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
 
Luas di Bawah Graf bagi Nilai \(X\) dari \(a\) hingga \(b\)
Rajah

Graf yang menggambarkan lengkung taburan normal dengan garis yang menunjukkan kawasan di bawah lengkung dari x=a hingga x=b.
Kebarangkalian \(X\) Berlaku untuk Nilai \(X\) dari \(a\) hingga \(b\)

\(P(a \lt X \lt b)=P(a \leq X \leq b)\)
 
Variasi Rawak dan Hukum Bilangan Besar
Variasi Rawak

Semakin besar saiz suatu sampel, semakin kecil variasi rawak. Jadi, nilai anggaran suatu parameter menjadi lebih konsisten.
Hukum Bilangan Besar

Semakin besar saiz suatu sampel, nilai min percubaan semakin menghampiri nilai min teori bagi suatu populasi.
 
Taburan Normal Piawai
  • Taburan normal piawai ditakrifkan sebagai satu taburan normal dengan min dan sisihan piawai masing-masing ialah \(0\) dan \(1\).
  • Suatu pemboleh ubah rawak selanjar \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) dengan min \(\mu\) dan sisihan piawai \(\sigma\) boleh dipiawaikan kepada pemboleh ubah rawak selanjar \(Z\) dengan min \(0\) dan sisihan piawai \(1\) menggunakan rumus berikut:

\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\), dengan keadaan \(Z\sim N(0,1)\)
 
Peratusan Taburan Data yang Wujud dalam Setiap Lingkungan Sisihan Piawai
  • \(68\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 1\) daripada min.
  • \(95\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 2\) daripada min.
  • \(99.8\%\) daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai \(\pm 3\) daripada min.
 
Kebarangkalian Suatu Peristiwa bagi Taburan Normal

Untuk mencari kebarangkalian pemboleh ubah rawak selanjar \(X\) yang berlaku antara \(a\) dengan \(b\), kita boleh menulisnya sebagai 
\(P(a\lt X \lt b)\). Oleh itu, cara menukarkan kebarangkalian peristiwa itu kepada taburan normal piawai dengan pemboleh ubah rawak selanjar \(Z\) adalah seperti berikut:

\(\begin{aligned} P(a\lt X \lt b)&=P\left( \dfrac{a-\mu}{\sigma} \lt \dfrac{X-\mu}{\sigma} \lt \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) \\ &=P \left( \dfrac{a-\mu}{\sigma} \lt Z \lt \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) \end{aligned}\)
 
Contoh \(1\)
Soalan

Graf yang menggambarkan taburan normal dengan garis merah dan garis biru, menyerlahkan kawasan antara x=28 dan x=42.

Rajah di atas menunjukkan graf bagi fungsi taburan normal yang bersimetri pada \(X=35\).

(a) Nyatakan nilai min, \(\mu\).
(b) Ungkapkan rantau berlorek dalam tatanda kebarangkalian.
(c) Jika kebarangkalian rantau berlorek ialah \(0.64\), cari \(P(X \lt28)\).
Penyelesaian
(a) \(\mu=35\).
   
(b) \(P(28 \lt X \lt 42)\).
   
(c) Oleh sebab graf bersimetri pada \(X=35\) serta \(X=28\) dan \(X=42\) masing-masing ialah \(7\) unit di sebelah kiri dan kanan min. Maka,
  \(\begin{aligned} P(X\text{ < }28)&=P(X\text{ > }42)\\\\ &=\dfrac{1-0.64}{2}\\\\ &=0.18. \end{aligned}\)
 
Contoh \(2\)
Soalan
(a) Suatu pemboleh ubah rawak selanjar \(X\) bertaburan normal dengan min \(30\) dan sisihan piawai \(8\).
  Cari skor-\(z\) jika \(X=42\).
   
(b) Tinggi bangunan di Kampung Pekan bertaburan secara normal dengan min \(23\) m dan varians \(25\) m\(^2\), cari tinggi bangunan jika skor piawai ialah \(0.213\).
Penyelesaian
(a) Diberi \(X=42\), \(\mu=30\) dan \(\sigma=8\).
  \(\begin{aligned} Z &= \dfrac{X-\mu}{\sigma}\\\\ &=\dfrac{42-30}{8}\\\\ &=1.5. \end{aligned}\)
   
(b) Diberi \(\mu=23\), \(\sigma^2=25\) dan skor-\(z=0.213\).
  Jadi,
  \(\begin{aligned} \sigma&=\sqrt{25} \\ &=5. \end{aligned}\)
  Maka,
  \(\begin{aligned} Z &= \dfrac{X-\mu}{\sigma}\\\\ 0.213&=\dfrac{X-23}{5}\\\\ 1.065&=X-23\\\\ X&=24.065\text{ m}. \end{aligned}\)
 
Contoh \(3\)
Soalan

Taburan ukuran panjang sejenis skru yang dihasilkan oleh sebuah kilang boleh dianggap sebagai normal dengan min \(10.6\) cm dan sisihan piawai \(3.2\) cm.

Wakilkan kebarangkalian bahawa sebatang skru yang dipilih secara rawak dari kilang itu mempunyai panjang antara \(8.4\) cm dengan \(13.2\) cm dengan keadaan \(Z\) ialah pemboleh ubah rawak selanjar piawai.
Penyelesaian

Katakan \(X\) mewakili panjang skru yang dihasilkan oleh kilang itu.

Diberi \(\mu=10.6\) dan \(\sigma=3.2\).

\(\begin{aligned} &P(\text{Panjang skru antara }8.4\text{ cm dengan }13.2\text{ cm})\\\\ &= P(8.4 \text{ < } X \text{ < } 13.2)\\\\ &=P\begin{pmatrix}\dfrac{8.4-10.6}{3.2} \text{ < } \dfrac{X-\mu}{\sigma} \text{ < } \dfrac{13.2-10.6}{3.2}\end{pmatrix}\\\\ &=P(-0.6875 \text{ < } Z\text{ < } 0.8125). \end{aligned}\)
 
Pandangan yang dinyatakan dalam Nota ini adalah dari pemilik kandungan Eksperimen.
Bab : Taburan Kebarangkalian
Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal
Tingkatan 5 Matematik Tambahan
Nota yang berkaitan

Laporkan nota ini
Bantuan Kerja Sekolah Live

Selesaikan kerja sekolahh dengan bantuan tutor live

Ketahui lebih lanjut
Register for pandai account for free now
© 2025 Pandai.org Hakcipta Terpelihara

Kuiz
Video
Nota
Akaun
Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor Slot Gacor