Asas Nombor

2.1  Asas Nombor

 

Asas Nombor
Definisi
  • Sistem nombor yang merangkumi \(0\) hingga \(9\).
  • Sistem nombor terdiri daripada pelbagai asas nombor.
Maklumat Tambahan
  • Digit bermaksud simbol yang digunakan atau digabungkan untuk membentuk nombor dalam sistem penomboran.
  • \(0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9\) ialah sepuluh digit dalam sistem nombor.
  • Setiap asas mempunyai digit \(0\) sehingga digit yang kurang daripada asasnya. 
  • Jadual menunjukkan digit yang digunakan dalam asas dua hingga asas sepuluh.
     
Asas Nombor Digit
Asas \(2\) \(0,1\)
Asas \(3\) \(0,1,2\)
Asas \(4\) \(0,1,2,3\)
Asas \(5\) \(0,1,2,3,4\)
Asas \(6\) \(0,1,2,3,4,5\)
Asas \(7\) \(0,1,2,3,4,5,6\)
Asas \(8\) \(0,1,2,3,4,5,6,7\)
Asas \(9\) \(0,1,2,3,4,5,6,7,8\)
Asas \(10\) \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)
 
Nilai Tempat yang Terlibat dalam Nombor Asas
Penjelasan
  • Setiap asas mempunyai nilai tempat mengikut asas masing-masing.
  • Nilai tempat suatu asas ialah pendaraban berulang asas tersebut.
  • Contohnya, \(a\) merupakan asas, maka nilai tempat asas tersebut bermula dengan \(a^0, a^1, a^2, a^3, .... a^n\).
Contoh


Cari nilai tempat bagi setiap digit dalam \(542_6\).

Penyelesaian:

Nombor Asas \(6\) \(5\) \(4\) \(2\)
Nilai Tempat \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
 
Nilai Nombor bagi Suatu Nombor dalam Pelbagai Asas
Definisi
Nilai nombor dalam pelbagai asas boleh ditentukan dengan menghitung hasil tambah digit nombor tersebut.
Contoh


Tentukan nilai bagi \(5\) dalam \(34\underline52_6\).

Penyelesaian:

Nombor \(3\) \(4\) \(5\) \(2\)
Nilai Tempat \(6^3\) \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
Nilai Nombor     \(5 \times 6^1= 30\)  
 
Nilai Tempat bagi Suatu Nombor Dalam Pelbagai Asas
Definisi
Nilai nombor dalam pelbagai asas boleh ditentukan dengan menghitung hasil tambah nilai digit nombor tersebut.
Contoh


Tentukan nilai nombor bagi \(6452_7\).

Penyelesaian: Asas nombor ialah \(7\), maka

Nombor \(6\) \(4\) \(5\) \(2\)
Nilai Tempat \(7^3\) \(7^2\) \(7^1\) \(7^0\)
Nilai Digit \(6 \times 7^3 =2058\) \(4 \times 7^2= 196\) \(5 \times 7_1= 35\) \(2 \times 7^0 =2\)
Nilai Nombor \(2058 +196+35+2 = 2291_\text{10}\)
 
Penukaran Nombor Daripada Satu Asas kepada Asas yang Lain Menggunakan Pelbagai Kaedah
  • Suatu nombor boleh ditukar kepada asas lain dengan menggunakan pelbagai kaedah iaitu kaedah penggunaan nilai tempat dan kaedah pembahagian.
  • Proses ini melibatkan penukaran:
    • nombor dalam asas sepuluh kepada asas lain
    • nombor daripada sesuatu asas kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas lain
    • nombor dalam asas dua terus kepada asas lapan
    • nombor dalam asas lapan terus kepada asas dua
Penukaran Nombor Dalam Asas Sepuluh kepada Asas Lain
Nombor asas sepuluh boleh ditukar kepada asas lain dengan membahagikan nombornya menggunakan nilai tempat atau nilai asas yang dikehendaki. 

Contoh: Tukar \(567_\text{10}\) kepada nombor dalam asas lima.

Penyelesaian:


\(\begin{array}{c} 5\\5\\5\\5\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad567\quad\\ \hline \quad113\quad\\ \hline \quad22\quad\\ \hline \quad4\quad\\ \hline \quad0\quad\\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \quad{\text{baki}}\\ \longrightarrow2\\ \longrightarrow3\\ \longrightarrow2\\ \longrightarrow4\\ \end{array}\)

\(\therefore 567_\text{10} =4232_5\)

Penukaran Nombor Dalam Suatu Asas Tertentu kepada Asas Lain

Sesuatu nombor dalam asas \(p\) boleh ditukarkan kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas \(q\).


Contoh: Tukar \(251_6\) kepada nombor dalam asas lapan.

Penyelesaian:

Langkah 1: Tukar nombor kepada asas sepuluh

Nombor Asas ialah \(6\) \(2\) \(5\) \(1\)
Nilai Tempat \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
Nilai Nombor dalam Asas \(10\) \(2 \times 6^2 = 72\) \(5 \times 6^1 = 30\) \(1 \times 6^0= 1\)

Langkah 2: Tukar nombor kepada asas sepuluh

\(\begin{array}{c} 8\\8\\8\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad103\quad\\ \hline \quad12\quad\\ \hline \quad1\quad\\ \hline \quad0\quad\\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \quad{\text{baki}}\\ \longrightarrow7\\ \longrightarrow4\\ \longrightarrow1\end{array}\)

\(\therefore251_6 = 147_8\)
Penukaran Nombor dalam Asas Dua kepada Asas Lapan
  1. Asingkan setiap tiga digit dalam nombor asas dua bermula dari kanan ke kiri.
  2. Tentukan hasil tambah nilai digit bagi gabungan tiga digit asas dua.
  3. Gabungkan nombor dalam asas lapan.

Contoh: Tukar \(111101_2\) kepada nombor asas lapan.

Penyelesaian:

Nombor Asas Dua \(1\) \(1\) \(1\) \(1\) \(0\) \(1\)
Nilai Tempat \(2^2\) \(2^1\) \(2^0\) \(2^2\) \(2^1\) \(2^0\)
Nilai Digit \(4\) \(2\) \(1\) \(4\) \(0\) \(1\)
Asas Eight \(4 +2 +1 = 7\) \(4+0+1= 5\)
\(111101_2 = 75_8\)
 
Pengiraan yang Melibatkan Operasi Tambah dan Tolak bagi Nombor dalam Pelbagai Asas
  Operasi Tambah Operasi Tolak
Bentuk Lazim
  1. Tambah digit yang diberikan bermula dari kanan ke kiri.
  2. Hasil tambah digit dalam asas sepuluh ditukar kepada asas yang diberikan untuk ditulis di ruang jawapan.
  3. Proses ini akan berulang sehingga semua digit dalam nombor selesai ditambah.

Contoh:

Hitung \(673_8 + 175_8\).

\(\begin{array}{cccccc}^{\color{red}}&&^{\color{red}1}&^{\color{red}1} \\ && 6 & 7 & 3\,_8 \\ +&& 1 & 7 & 5\,_8 \\ \hline & 1& \color{red}0 & \color{blue}7 & \color{orange}8\,\color{black}_8 \\ \hline \end{array}\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\color{orange}\uparrow\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\small\color{orange}3+5=8_{10}=10_8\\\color{blue}{\qquad\qquad\qquad\uparrow}\\\qquad\qquad\qquad\small{1+7+7=15_{10}=17_8}\\\color{red}\qquad\qquad\;\;\uparrow\\\qquad\qquad\;\;\small{1+6+1=8_{10}=10_8}\)

Jawapan: 

Melakukan operasi tambah seperti biasa dan tukar nilai asas sepuluh kepada asas lapan.

\(673_8 + 175_8=1070_8\)

  1. Tolak digit yang diberikan bermula dari kanan ke kiri.
  2. Digit hasil tolak ditulis di ruang jawapan.Hasil tolak sentiasa tidak melebihi asas yang diberikan dan nilainya bersamaan asas sepuluh.
  3. Proses ini akan berulang sehingga semua digit dalam nombor selesai ditolak.

Contoh:

Hitung \(6241_7 - 613_7\).

\(\begin{array}{cccccc}^{\color{red}}&^{\color{red}5}&^{\color{red}7}&^{\color{red}3}&^{\color{red}7} \\ &{\not}6& 2 & {\not}4 & 1\;_7 \\ -&& 6 & 1 & 3 \,_7\\ \hline & 5& \color{red}3 & \color{blue}2 & \color{orange}5 \,\color{blacl}_7\\ \hline \end{array}\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\color{orange}\uparrow\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\small\color{orange}7+1-3=5_{7}\\\color{blue}{\qquad\qquad\qquad\uparrow}\\\qquad\qquad\qquad\small{3-1=2_7}\\\color{red}\qquad\qquad\;\;\uparrow\\\qquad\qquad\;\;\small{7+2-6=3_7}\)

Jawapan:

\(6241_7 - 613_7=5325_7\)

Penukaran Asas
  1. Tukar nombor kepada asas sepuluh dan lakukan operasi tambah.
  2. Tukarkan semula jawapan dalam asas sepuluh kepada asas yang dikehendaki.

Contoh:

Hitung \(673_8 + 175_8\).

\(6\,7\,3_8\rightarrow\;\;\;4\,4\,3_{10}\\1\,7\,5_8\rightarrow+\underline{1\,2\,5_{10}}\\ \qquad\qquad\;\;\underline{\,5\,6\,8_{10}}\)

\(\begin{array}{c}\\8\\8\\8\\8\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad568\quad\\ \hline \quad71\quad\\ \hline \quad8\quad\\ \hline \quad1\quad\\ \hline\quad0\quad \end{array} \begin{array}{c} \quad \\ -0 \\-7\\ -0\\-1 \end{array}\)\(\Bigg\uparrow\)

Jawapan:

\(673_8 + 175_8=1070_8\)

  1. Tukar nombor kepada asas sepuluh dan lakukan operasi tolak.
  2. Tukarkan semula jawapan dalam asas sepuluh kepada asas dalam soalan.

Contoh:

Hitung \(6241_7 - 613_7\).

\(6\,2\,4\,1_7\rightarrow\;2\,1\,8\,5_{10}\\6\,1\,3_8\rightarrow-\underline{\;\;\;3\,0\,4_{10}}\\ \qquad\qquad\;\;\underline{1\,8\,8\,1_{10}}\)

\(\begin{array}{c}\\7\\7\\7\\7\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad1881\quad\\ \hline \quad268\quad\\ \hline \quad38\quad\\ \hline \quad5\quad\\ \hline\quad0\quad \end{array} \begin{array}{c} \quad \\ -5 \\-2\\ -3\\-5 \end{array}\)\(\Bigg\uparrow\)

Jawapan:

\(6241_7 - 613_7=5325_7\)

Asas Nombor

2.1  Asas Nombor

 

Asas Nombor
Definisi
  • Sistem nombor yang merangkumi \(0\) hingga \(9\).
  • Sistem nombor terdiri daripada pelbagai asas nombor.
Maklumat Tambahan
  • Digit bermaksud simbol yang digunakan atau digabungkan untuk membentuk nombor dalam sistem penomboran.
  • \(0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9\) ialah sepuluh digit dalam sistem nombor.
  • Setiap asas mempunyai digit \(0\) sehingga digit yang kurang daripada asasnya. 
  • Jadual menunjukkan digit yang digunakan dalam asas dua hingga asas sepuluh.
     
Asas Nombor Digit
Asas \(2\) \(0,1\)
Asas \(3\) \(0,1,2\)
Asas \(4\) \(0,1,2,3\)
Asas \(5\) \(0,1,2,3,4\)
Asas \(6\) \(0,1,2,3,4,5\)
Asas \(7\) \(0,1,2,3,4,5,6\)
Asas \(8\) \(0,1,2,3,4,5,6,7\)
Asas \(9\) \(0,1,2,3,4,5,6,7,8\)
Asas \(10\) \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)
 
Nilai Tempat yang Terlibat dalam Nombor Asas
Penjelasan
  • Setiap asas mempunyai nilai tempat mengikut asas masing-masing.
  • Nilai tempat suatu asas ialah pendaraban berulang asas tersebut.
  • Contohnya, \(a\) merupakan asas, maka nilai tempat asas tersebut bermula dengan \(a^0, a^1, a^2, a^3, .... a^n\).
Contoh


Cari nilai tempat bagi setiap digit dalam \(542_6\).

Penyelesaian:

Nombor Asas \(6\) \(5\) \(4\) \(2\)
Nilai Tempat \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
 
Nilai Nombor bagi Suatu Nombor dalam Pelbagai Asas
Definisi
Nilai nombor dalam pelbagai asas boleh ditentukan dengan menghitung hasil tambah digit nombor tersebut.
Contoh


Tentukan nilai bagi \(5\) dalam \(34\underline52_6\).

Penyelesaian:

Nombor \(3\) \(4\) \(5\) \(2\)
Nilai Tempat \(6^3\) \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
Nilai Nombor     \(5 \times 6^1= 30\)  
 
Nilai Tempat bagi Suatu Nombor Dalam Pelbagai Asas
Definisi
Nilai nombor dalam pelbagai asas boleh ditentukan dengan menghitung hasil tambah nilai digit nombor tersebut.
Contoh


Tentukan nilai nombor bagi \(6452_7\).

Penyelesaian: Asas nombor ialah \(7\), maka

Nombor \(6\) \(4\) \(5\) \(2\)
Nilai Tempat \(7^3\) \(7^2\) \(7^1\) \(7^0\)
Nilai Digit \(6 \times 7^3 =2058\) \(4 \times 7^2= 196\) \(5 \times 7_1= 35\) \(2 \times 7^0 =2\)
Nilai Nombor \(2058 +196+35+2 = 2291_\text{10}\)
 
Penukaran Nombor Daripada Satu Asas kepada Asas yang Lain Menggunakan Pelbagai Kaedah
  • Suatu nombor boleh ditukar kepada asas lain dengan menggunakan pelbagai kaedah iaitu kaedah penggunaan nilai tempat dan kaedah pembahagian.
  • Proses ini melibatkan penukaran:
    • nombor dalam asas sepuluh kepada asas lain
    • nombor daripada sesuatu asas kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas lain
    • nombor dalam asas dua terus kepada asas lapan
    • nombor dalam asas lapan terus kepada asas dua
Penukaran Nombor Dalam Asas Sepuluh kepada Asas Lain
Nombor asas sepuluh boleh ditukar kepada asas lain dengan membahagikan nombornya menggunakan nilai tempat atau nilai asas yang dikehendaki. 

Contoh: Tukar \(567_\text{10}\) kepada nombor dalam asas lima.

Penyelesaian:


\(\begin{array}{c} 5\\5\\5\\5\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad567\quad\\ \hline \quad113\quad\\ \hline \quad22\quad\\ \hline \quad4\quad\\ \hline \quad0\quad\\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \quad{\text{baki}}\\ \longrightarrow2\\ \longrightarrow3\\ \longrightarrow2\\ \longrightarrow4\\ \end{array}\)

\(\therefore 567_\text{10} =4232_5\)

Penukaran Nombor Dalam Suatu Asas Tertentu kepada Asas Lain

Sesuatu nombor dalam asas \(p\) boleh ditukarkan kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas \(q\).


Contoh: Tukar \(251_6\) kepada nombor dalam asas lapan.

Penyelesaian:

Langkah 1: Tukar nombor kepada asas sepuluh

Nombor Asas ialah \(6\) \(2\) \(5\) \(1\)
Nilai Tempat \(6^2\) \(6^1\) \(6^0\)
Nilai Nombor dalam Asas \(10\) \(2 \times 6^2 = 72\) \(5 \times 6^1 = 30\) \(1 \times 6^0= 1\)

Langkah 2: Tukar nombor kepada asas sepuluh

\(\begin{array}{c} 8\\8\\8\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad103\quad\\ \hline \quad12\quad\\ \hline \quad1\quad\\ \hline \quad0\quad\\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \quad{\text{baki}}\\ \longrightarrow7\\ \longrightarrow4\\ \longrightarrow1\end{array}\)

\(\therefore251_6 = 147_8\)
Penukaran Nombor dalam Asas Dua kepada Asas Lapan
  1. Asingkan setiap tiga digit dalam nombor asas dua bermula dari kanan ke kiri.
  2. Tentukan hasil tambah nilai digit bagi gabungan tiga digit asas dua.
  3. Gabungkan nombor dalam asas lapan.

Contoh: Tukar \(111101_2\) kepada nombor asas lapan.

Penyelesaian:

Nombor Asas Dua \(1\) \(1\) \(1\) \(1\) \(0\) \(1\)
Nilai Tempat \(2^2\) \(2^1\) \(2^0\) \(2^2\) \(2^1\) \(2^0\)
Nilai Digit \(4\) \(2\) \(1\) \(4\) \(0\) \(1\)
Asas Eight \(4 +2 +1 = 7\) \(4+0+1= 5\)
\(111101_2 = 75_8\)
 
Pengiraan yang Melibatkan Operasi Tambah dan Tolak bagi Nombor dalam Pelbagai Asas
  Operasi Tambah Operasi Tolak
Bentuk Lazim
  1. Tambah digit yang diberikan bermula dari kanan ke kiri.
  2. Hasil tambah digit dalam asas sepuluh ditukar kepada asas yang diberikan untuk ditulis di ruang jawapan.
  3. Proses ini akan berulang sehingga semua digit dalam nombor selesai ditambah.

Contoh:

Hitung \(673_8 + 175_8\).

\(\begin{array}{cccccc}^{\color{red}}&&^{\color{red}1}&^{\color{red}1} \\ && 6 & 7 & 3\,_8 \\ +&& 1 & 7 & 5\,_8 \\ \hline & 1& \color{red}0 & \color{blue}7 & \color{orange}8\,\color{black}_8 \\ \hline \end{array}\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\color{orange}\uparrow\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\small\color{orange}3+5=8_{10}=10_8\\\color{blue}{\qquad\qquad\qquad\uparrow}\\\qquad\qquad\qquad\small{1+7+7=15_{10}=17_8}\\\color{red}\qquad\qquad\;\;\uparrow\\\qquad\qquad\;\;\small{1+6+1=8_{10}=10_8}\)

Jawapan: 

Melakukan operasi tambah seperti biasa dan tukar nilai asas sepuluh kepada asas lapan.

\(673_8 + 175_8=1070_8\)

  1. Tolak digit yang diberikan bermula dari kanan ke kiri.
  2. Digit hasil tolak ditulis di ruang jawapan.Hasil tolak sentiasa tidak melebihi asas yang diberikan dan nilainya bersamaan asas sepuluh.
  3. Proses ini akan berulang sehingga semua digit dalam nombor selesai ditolak.

Contoh:

Hitung \(6241_7 - 613_7\).

\(\begin{array}{cccccc}^{\color{red}}&^{\color{red}5}&^{\color{red}7}&^{\color{red}3}&^{\color{red}7} \\ &{\not}6& 2 & {\not}4 & 1\;_7 \\ -&& 6 & 1 & 3 \,_7\\ \hline & 5& \color{red}3 & \color{blue}2 & \color{orange}5 \,\color{blacl}_7\\ \hline \end{array}\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\color{orange}\uparrow\\\qquad\qquad\qquad\;\;\;\small\color{orange}7+1-3=5_{7}\\\color{blue}{\qquad\qquad\qquad\uparrow}\\\qquad\qquad\qquad\small{3-1=2_7}\\\color{red}\qquad\qquad\;\;\uparrow\\\qquad\qquad\;\;\small{7+2-6=3_7}\)

Jawapan:

\(6241_7 - 613_7=5325_7\)

Penukaran Asas
  1. Tukar nombor kepada asas sepuluh dan lakukan operasi tambah.
  2. Tukarkan semula jawapan dalam asas sepuluh kepada asas yang dikehendaki.

Contoh:

Hitung \(673_8 + 175_8\).

\(6\,7\,3_8\rightarrow\;\;\;4\,4\,3_{10}\\1\,7\,5_8\rightarrow+\underline{1\,2\,5_{10}}\\ \qquad\qquad\;\;\underline{\,5\,6\,8_{10}}\)

\(\begin{array}{c}\\8\\8\\8\\8\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad568\quad\\ \hline \quad71\quad\\ \hline \quad8\quad\\ \hline \quad1\quad\\ \hline\quad0\quad \end{array} \begin{array}{c} \quad \\ -0 \\-7\\ -0\\-1 \end{array}\)\(\Bigg\uparrow\)

Jawapan:

\(673_8 + 175_8=1070_8\)

  1. Tukar nombor kepada asas sepuluh dan lakukan operasi tolak.
  2. Tukarkan semula jawapan dalam asas sepuluh kepada asas dalam soalan.

Contoh:

Hitung \(6241_7 - 613_7\).

\(6\,2\,4\,1_7\rightarrow\;2\,1\,8\,5_{10}\\6\,1\,3_8\rightarrow-\underline{\;\;\;3\,0\,4_{10}}\\ \qquad\qquad\;\;\underline{1\,8\,8\,1_{10}}\)

\(\begin{array}{c}\\7\\7\\7\\7\\\phantom{-} \end{array} \begin{array}{|c} \quad1881\quad\\ \hline \quad268\quad\\ \hline \quad38\quad\\ \hline \quad5\quad\\ \hline\quad0\quad \end{array} \begin{array}{c} \quad \\ -5 \\-2\\ -3\\-5 \end{array}\)\(\Bigg\uparrow\)

Jawapan:

\(6241_7 - 613_7=5325_7\)