Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus sudut berganda

Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda

6.5

Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda

Rumus sudut majmuk yang boleh digunakan untuk mencari nisbah trigonometri bagi sudut majmuk adalah seperti yang berikut:


	\(\text{sin}(A+B)= \text{sin} \ A \text{ kos} \ B + \text{kos} \ A \text{ sin} \ B\) \(\text{sin}(A-B)= \text{sin} \ A \text{ kos} \ B - \text{kos} \ A \text{ sin} \ B\)

	\(\text{kos}(A+B)= \text{kos} \ A \text{ kos} \ B - \text{sin} \ A \text{ sin} \ B\) \(\text{kos}(A-B)= \text{kos} \ A \text{ kos} \ B + \text{sin} \ A \text{ sin} \ B\)

	\(\text{tan}(A+B) = \dfrac{\text{tan }A + \text{tan }B}{1-\text{tan }A \text{ tan }B}\) \(\text{tan}(AB) = \dfrac{\text{tan }A - \text{tan }B}{1+\text{tan }A \text{ tan }B}\)

Sudut yang berbentuk \((A+B) \text{ atau }(A-B)\) dikenali sebagai sudut majmuk
Sudut yang berbentuk \(2A, \ 3A, \ ...\) dikenali sebagai sudut berganda

Rumus sudut majmuk boleh digunakan untuk membuktikan identiti trigonometri yang lain

Contoh

(a)

Buktikan identiti bagi

\(\text{sin }(90^{\circ}+A) = \text{kos } A\).

(b)

Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi \(\text{tan }15^{\circ}\).

Penyelesaian:

(a)

\(\text{sin }(90^{\circ}+A) \\ = \text{sin }90^{\circ} \text{ kos }A + \text{ kos }90^{\circ} \text{ sin }A\\ =(1) \text{ kos }A + (0) \text{ sin }A\\ =\text{ kos }A \)

(b)

Ingat kembali bahawa:

Sudut	sin	kos	tan
\(45^{\circ}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt2}\)	\(1\)
\(60^{\circ}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt3\)

\(\begin{aligned} &\text{tan }15^{\circ}\\ &=\text{tan }(60^{\circ} -45^{\circ})\\\\ &=\dfrac{\text{tan }60^{\circ} - \text{tan }45^{\circ}}{1+\text{tan }60^{\circ} \ \text{tan }45^{\circ}}\\\\ &=\dfrac{\sqrt 3 - 1}{1+ (\sqrt3)(1)}\\\\ &=\dfrac{\sqrt3 -1}{\sqrt 3+1}\\\\ &=2-\sqrt3 \end{aligned} \)

Rumus sudut berganda:


	\(\text{sin } 2A = 2 \text{ sin }A\text{ kos }A\)

	\(\text{kos } 2A = \text{ kos}^2 \ A - \text{ sin}^2 \ A\) \(\text{kos } 2A = 2\text{ kos}^2 \ A - 1\) \(\text{kos } 2A = 1- 2\text{ sin}^2 \ A \)

	\(\text{tan }2A = \dfrac{2\text{ tan }A}{1-\text{tan}^2 \ A}\)

Rumus lain yang melibatkan sudut berganda boleh diterbitkan secara aruhan
Rumus sudut separuh dengan keadaan \(\text{sin }\dfrac{A}{2}\) , \(\text{kos }\dfrac{A}{2}\) dan \(\text{tan }\dfrac{A}{2}\) boleh diungkapkan dalan sebutan \(\text{sin }A\) dan \(\text{kos }A\) seperti berikut:


	\(\text{sin }\dfrac{A}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\text{ kos }A}{2}}\)

	\(\text{kos }\dfrac{A}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1+\text{ kos }A}{2}}\)

	\(\text{tan }\dfrac{A}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{\text{sin }A}{1+\text{ kos }A}}\)

Contoh

(a)	Cari nilai bagi ungkapan \(2\text{ sin }15^{\circ} \text{ kos }15^{\circ}\) dengan menggunakan sudut rumus berganda.

(b)	Buktikan bahawa \(\text{tan }\dfrac{x}{2} = \dfrac{1-\text{ kos }x}{\text{sin }x}\).


Penyelesaian:

(a)	\(2\text{ sin }15^{\circ} \text{ kos }15^{\circ}\\ = \text{sin }2(15^{\circ})\\ =\text{sin }30^{\circ}\\ =\dfrac{1}{2}\)

(b)	\(\begin{aligned} \text{Sebelah kanan } &= \dfrac{1-\text{ kos }x}{\text{sin }x}\\\\ &= \dfrac{1-\begin{pmatrix} 1-2\text{ sin}^2 \ \dfrac{x}{2} \end{pmatrix}}{2 \text{ sin }\dfrac{x}{2}\text{ kos }\dfrac{x}{2}}\\\\ &= \dfrac{2\text{ sin}^2 \ \dfrac{x}{2} }{2 \text{ sin }\dfrac{x}{2}\text{ kos }\dfrac{x}{2}}\\\\ &=\dfrac{\text{sin }\dfrac{x}{2}}{\text{kos }\dfrac{x}{2}}\\\\ &=\text{tan }\dfrac{x}{2} \end{aligned}\) Maka, terbukti bahawa \(\text{tan }\dfrac{x}{2} = \dfrac{1-\text{ kos }x}{\text{sin }x}\).

Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda

Bab : Fungsi Trigonometri

Topik : Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus sudut berganda

Nota yang berkaitan