Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks

Kembali

Operasi Asas Matriks

Contoh 2

Diberi bahawa \(C=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 10&-8&4\\ 6&-11&7\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(D=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 14&-2&1\\ -3&5&9\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung

a) \(C+D\)

b) \(D-C\)

Penyelesaian:

(a)

\(\begin{aligned} \hspace{1mm}&C+D\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 10+14&-8+(-2)&4+1\\ 6+(-3)&-11+5&7+9\end{bmatrix}\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 24&-10&5\\ 3&-6&7+16\end{bmatrix}\end{aligned}\)

(b)

\(\begin{aligned}& \hspace{1mm}D-C\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix}14-10&-2-(-8)&1-4\\ -3-6&5-(-11)&9-7\end{bmatrix}\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 4&6&-3\\ -9&16&2\end{bmatrix}\end{aligned}\)

Pendaraban matriks dengan suatu nombor

Pendaraban matriks dengan suatu nombor ialah satu proses penambahan berulang. Jika
matriks \(A\) didarabkan dengan suatu nombor \(n\), maka matriks \(A\) boleh ditambah dengan
matriks \(A\) \(n\) kali, iaitu

\(nA=A+A+\dots+A \hspace{1mm}(n \hspace{1mm}\text{times})\)

Rumus ini bermakna setiap unsur dalam matriks A ditambah dengan unsur yang sama berulang sebanyak \(n\) kali. Jadi, untuk mendarab suatu matriks dengan suatu nombor, darabkan setiap unsur dalam matriks itu dengan nombor tersebut.

Diberi bahawa matriks \(A=\begin{aligned}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}\) dan \(n\) ialah suatu nombor. Maka

\(nA=\begin{aligned}\begin{bmatrix} n(a_{11})&n(a_{12})\\ n(a_{21})&n(a_{22})\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Contoh 3

Diberi bahawa

\(F=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 10&-8\\ 6&-11\\5&7\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung \(3F\).

Penyelesaian:

\(\begin{aligned}3F&=\begin{bmatrix} 3(10)&3(-8)\\ 3(6)&3(-11)\\3(5)&3(7)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} 30&-24\\ 18&-33\\15&21\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Hukum operasi aritmetik dalam matriks

Peringatan: \(A-B=A+(-B)\)

Hukum Kalis Tukar Tertib	\(A+B=B+A\)
Hukum Kalis Agihan	\(h(A+B)=hA+hB\)
Hukum Kalis Sukutuan	\((A+B)+C=A+(B+C)\)
Penambahan Matriks Sifar	\(A+0_{matrix}=A\)

Contoh 4

Diberi bahawa \(P=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 14&-2\\ -3&5\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(Q=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 3&-5\\ 7&11\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung \(3(P-Q)\).

Penyelesaian:

\(\begin{aligned}3(P-Q)&=3P-3Q\\&=3\begin{bmatrix} 14&-2\\ -3&5\end{bmatrix}\\&-3\begin{bmatrix} 3&-5\\ 7&11\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} 42&-6\\ -9&15\end{bmatrix}\\&-\begin{bmatrix} 9&-15\\ 21&33\end{bmatrix}\\& =\begin{bmatrix} 33&9\\ 30&-18\end{bmatrix}\end{aligned}\)

Pendaraban dua matriks

Untuk mendarab dua matriks,, \(A\) dan \(B\), bilangan lajur matriks \(A\) mesti sama dengan bilangan baris matriks \(B\). Bilangan baris matriks \(A\) dan bilangan lajur matriks \(B\) menjadi peringkat bagi hasil darab dua matriks itu, \(AB\).

Jika matriks \(A\) mempunyai peringkat \(m\times n\) dan matriks \(B\) mempunyai peringkat \(n\times p\), maka pendaraban \(AB\) boleh dilakukan dan peringkat \(AB\) ialah \(m\times p\).

Bagi

\(A=\begin{aligned}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(B=\begin{aligned}\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{bmatrix}\end{aligned}\),

pendaraban \(AB\) boleh dilakukan dan peringkat \(AB\) ialah \(2\times 3\).

Walaubagaimanapun pendaraban of \(BA\) tidak boleh dilakukan kerana bilangan lajur matriks \(B\) tidak sama dengan bilangan baris matriks \(A\).

Contoh 5

Diberi bahawa \(P=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 2\\ -3\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(Q=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 3&7\\ -5&2\\6&1\end{bmatrix}\end{aligned}\),

Hitung \(QP\).

Penyelesaian:

\(\begin{aligned}QP&=\begin{bmatrix} (3)(2)+7(-3)\\ (-5)(2)+2(-3)\\(6)(2)+(1)(-3)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} 15\\ -16\\9\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Apakah ciri-ciri matriks identiti?

Matriks identiti \(I\), adalah matriks peringkat \(n\times n\) dengan unsur 1 di pepenjuru utama dan unsur selainnya 0, dan apabila didarabkan dengan matriks , hasil pendaraban ialah \(A\) (\(AI=IA=A\)).

\(\begin{aligned} I=\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0\\ 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1 \end{bmatrix} \end{aligned}\)

Apakah matriks sonsang?

Pendaraban matriks \(A\) dan matriks sonsang \(A\), \(A^{-1}\), akan menghasilkan matriks identiti, \(I\)

\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)

Matriks sonsang bagi matriks \(2\times 2\):

\(\begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\\\implies A^{-1}&=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix} \end{aligned}\)

dengan keadaan \(ad-bc\neq 0\).

Cara menyelesaikan persamaan linear serentak?

Persamaan linear serentak boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah matriks mengikut langkah-langkah berikut.

Operasi Asas Matriks

Contoh 2

Diberi bahawa \(C=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 10&-8&4\\ 6&-11&7\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(D=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 14&-2&1\\ -3&5&9\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung

a) \(C+D\)

b) \(D-C\)

Penyelesaian:

(a)

\(\begin{aligned} \hspace{1mm}&C+D\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 10+14&-8+(-2)&4+1\\ 6+(-3)&-11+5&7+9\end{bmatrix}\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 24&-10&5\\ 3&-6&7+16\end{bmatrix}\end{aligned}\)

(b)

\(\begin{aligned}& \hspace{1mm}D-C\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix}14-10&-2-(-8)&1-4\\ -3-6&5-(-11)&9-7\end{bmatrix}\\&\hspace{-2mm}=\begin{bmatrix} 4&6&-3\\ -9&16&2\end{bmatrix}\end{aligned}\)

Pendaraban matriks dengan suatu nombor

\(nA=A+A+\dots+A \hspace{1mm}(n \hspace{1mm}\text{times})\)

Diberi bahawa matriks \(A=\begin{aligned}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}\) dan \(n\) ialah suatu nombor. Maka

\(nA=\begin{aligned}\begin{bmatrix} n(a_{11})&n(a_{12})\\ n(a_{21})&n(a_{22})\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Contoh 3

Diberi bahawa

\(F=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 10&-8\\ 6&-11\\5&7\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung \(3F\).

Penyelesaian:

\(\begin{aligned}3F&=\begin{bmatrix} 3(10)&3(-8)\\ 3(6)&3(-11)\\3(5)&3(7)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} 30&-24\\ 18&-33\\15&21\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Hukum operasi aritmetik dalam matriks

Peringatan: \(A-B=A+(-B)\)

Hukum Kalis Tukar Tertib	\(A+B=B+A\)
Hukum Kalis Agihan	\(h(A+B)=hA+hB\)
Hukum Kalis Sukutuan	\((A+B)+C=A+(B+C)\)
Penambahan Matriks Sifar	\(A+0_{matrix}=A\)

Contoh 4

Diberi bahawa \(P=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 14&-2\\ -3&5\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(Q=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 3&-5\\ 7&11\end{bmatrix}\end{aligned}\),

hitung \(3(P-Q)\).

Penyelesaian:

Pendaraban dua matriks

Jika matriks \(A\) mempunyai peringkat \(m\times n\) dan matriks \(B\) mempunyai peringkat \(n\times p\), maka pendaraban \(AB\) boleh dilakukan dan peringkat \(AB\) ialah \(m\times p\).

Bagi

\(A=\begin{aligned}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(B=\begin{aligned}\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{bmatrix}\end{aligned}\),

pendaraban \(AB\) boleh dilakukan dan peringkat \(AB\) ialah \(2\times 3\).

Walaubagaimanapun pendaraban of \(BA\) tidak boleh dilakukan kerana bilangan lajur matriks \(B\) tidak sama dengan bilangan baris matriks \(A\).

Contoh 5

Diberi bahawa \(P=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 2\\ -3\end{bmatrix}\end{aligned}\)

dan \(Q=\begin{aligned}\begin{bmatrix} 3&7\\ -5&2\\6&1\end{bmatrix}\end{aligned}\),

Hitung \(QP\).

Penyelesaian:

\(\begin{aligned}QP&=\begin{bmatrix} (3)(2)+7(-3)\\ (-5)(2)+2(-3)\\(6)(2)+(1)(-3)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} 15\\ -16\\9\end{bmatrix}\end{aligned}\).

Apakah ciri-ciri matriks identiti?

\(\begin{aligned} I=\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0\\ 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1 \end{bmatrix} \end{aligned}\)

Apakah matriks sonsang?

Pendaraban matriks \(A\) dan matriks sonsang \(A\), \(A^{-1}\), akan menghasilkan matriks identiti, \(I\)

\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)

Matriks sonsang bagi matriks \(2\times 2\):

\(\begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\\\implies A^{-1}&=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix} \end{aligned}\)

dengan keadaan \(ad-bc\neq 0\).

Cara menyelesaikan persamaan linear serentak?

Persamaan linear serentak boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah matriks mengikut langkah-langkah berikut.

Operasi Asas Matriks

Operasi Asas Matriks

Bab : Matriks

Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks

Nota yang berkaitan