Berdasarkan rajah di atas, fungsi songsang boleh dirumuskan sebagai:

\(f:x\rightarrow y\Leftrightarrow f^{-1}:y\rightarrow x\) atau \(y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\).

Untuk menentukan sama ada graf bagi suatu fungsi itu mempunyai fungsi songsang, ujian garis mengufuk boleh dilakukan. Jika garis mengufuk itu memotong suatu graf fungsi hanya pada satu titik, maka jenis fungsinya ialah satu dengan satu dan fungsi tersebut mempunyai fungsi songsang. Sebaliknya, jika garis mengufuk itu memotong suatu graf fungsi pada dua titik atau lebih, maka jenis fungsi itu bukan satu dengan satu dan fungsi tersebut tidak mempunyai fungsi songsang.

Suatu fungsi \(f\) yang memetakan set \(X\) kepada set \(Y\) mempunyai fungsi songsang \(f^{-1}\) jika \(f\) ialah fungsi satu dengan satu.

\(fg(x)=x\), \(x\) dalam domain \(g\) dan \(gf(x)=x\), \(x\) dalam domain \(f\).

Jika dua fungsi \(f\) dan \(g\) ialah fungsi songsang antara satu sama lain, maka

(a) domain \(f=\) julat \(g\) dan domain \(g=\) julat \(f\),
(b) graf \(g\) adalah pantulan graf \(f\) pada garis \(y=x\).

Untuk mana-mana nombor nyata, \(a\) dan \(b\), jika titik \((a,b)\) berada pada graf \(f\), maka titik \((b,a)\) berada pada graf \(g\), iaitu graf \(f^{-1}\). Titik \((b,a)\) di atas graf \(g\) ialah pantulan titik \((a,b)\) di atas graf \(f\) pada garis \(y=x\).

Sahkan kebenaran bahawa fungsi \(f(x)=3-2x\) mempunyai fungsi songsang, \(g(x)=\dfrac{3-x}{2}\).

Tentukan \(fg(x)\) terlebih dahulu,

\(\begin{aligned} fg(x)&=f[g(x)] \\\\ &=f\left( \dfrac{3-x}{2} \right) \\\\ &=3-2\left( \dfrac{3-x}{2} \right) \\\\ &=3-(3-x) \\\\ &=x .\end{aligned}\)

Kemudian, tentukan \(gf(x)\).

\(\begin{aligned} gf(x)&=g[f(x)] \\\\ &=g(3-2x) \\\\ &=\dfrac{3-(3-2x)}{2} \\\\ &=\dfrac{2x}{2} \\\\ &=x. \end{aligned}\)

Oleh sebab \(fg(x)=gf(x)=x\),

maka,

\(g(x)=\dfrac{3-x}{2}\) ialah fungsi songsang bagi \(f(x)=3-2x\).

Jika \(f(x)=5x+2\), cari

(a) \(f^{-1}(x)\),
(b) \(f^{-1}(7)\).

(a)

Biarkan \(f(x)=y\),

\(\begin{aligned} y&=5x+2\\\\ 5x&=y-2 \\\\ x&=\dfrac{y-2}{5} \end{aligned}\)

maka,

\(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}.\)

(b)

Gantikan nilai \(7\) ke dalam \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}\),

\(\begin{aligned} f^{-1}(7)&=\dfrac{7-2}{5}\\\\ &=\dfrac{5}{5}\\\\ &=1. \end{aligned}\)

\(\therefore f^{-1}(7)=1.\)

Berdasarkan rajah di atas, fungsi songsang boleh dirumuskan sebagai:

\(f:x\rightarrow y\Leftrightarrow f^{-1}:y\rightarrow x\) atau \(y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\).

Untuk menentukan sama ada graf bagi suatu fungsi itu mempunyai fungsi songsang, ujian garis mengufuk boleh dilakukan. Jika garis mengufuk itu memotong suatu graf fungsi hanya pada satu titik, maka jenis fungsinya ialah satu dengan satu dan fungsi tersebut mempunyai fungsi songsang. Sebaliknya, jika garis mengufuk itu memotong suatu graf fungsi pada dua titik atau lebih, maka jenis fungsi itu bukan satu dengan satu dan fungsi tersebut tidak mempunyai fungsi songsang.

Suatu fungsi \(f\) yang memetakan set \(X\) kepada set \(Y\) mempunyai fungsi songsang \(f^{-1}\) jika \(f\) ialah fungsi satu dengan satu.

\(fg(x)=x\), \(x\) dalam domain \(g\) dan \(gf(x)=x\), \(x\) dalam domain \(f\).

Jika dua fungsi \(f\) dan \(g\) ialah fungsi songsang antara satu sama lain, maka

(a) domain \(f=\) julat \(g\) dan domain \(g=\) julat \(f\),
(b) graf \(g\) adalah pantulan graf \(f\) pada garis \(y=x\).

Untuk mana-mana nombor nyata, \(a\) dan \(b\), jika titik \((a,b)\) berada pada graf \(f\), maka titik \((b,a)\) berada pada graf \(g\), iaitu graf \(f^{-1}\). Titik \((b,a)\) di atas graf \(g\) ialah pantulan titik \((a,b)\) di atas graf \(f\) pada garis \(y=x\).

Sahkan kebenaran bahawa fungsi \(f(x)=3-2x\) mempunyai fungsi songsang, \(g(x)=\dfrac{3-x}{2}\).

Tentukan \(fg(x)\) terlebih dahulu,

\(\begin{aligned} fg(x)&=f[g(x)] \\\\ &=f\left( \dfrac{3-x}{2} \right) \\\\ &=3-2\left( \dfrac{3-x}{2} \right) \\\\ &=3-(3-x) \\\\ &=x .\end{aligned}\)

Kemudian, tentukan \(gf(x)\).

\(\begin{aligned} gf(x)&=g[f(x)] \\\\ &=g(3-2x) \\\\ &=\dfrac{3-(3-2x)}{2} \\\\ &=\dfrac{2x}{2} \\\\ &=x. \end{aligned}\)

Oleh sebab \(fg(x)=gf(x)=x\),

maka,

\(g(x)=\dfrac{3-x}{2}\) ialah fungsi songsang bagi \(f(x)=3-2x\).

Jika \(f(x)=5x+2\), cari

(a) \(f^{-1}(x)\),
(b) \(f^{-1}(7)\).

(a)

Biarkan \(f(x)=y\),

\(\begin{aligned} y&=5x+2\\\\ 5x&=y-2 \\\\ x&=\dfrac{y-2}{5} \end{aligned}\)

maka,

\(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}.\)

(b)

Gantikan nilai \(7\) ke dalam \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}\),

\(\begin{aligned} f^{-1}(7)&=\dfrac{7-2}{5}\\\\ &=\dfrac{5}{5}\\\\ &=1. \end{aligned}\)

\(\therefore f^{-1}(7)=1.\)